Derivada da função inversa arco seno $\text{sen}^{-1}(x)$

Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função inversa arco seno, onde:

$$\frac{d}{dx} \text{sen}^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Para derivadas de funções inversas, uma forma de resolver é utilizar a diferenciação implícita juntamente com a regra da cadeia, porque assim não precisamos empregar outras derivadas de funções inversas no processo.

A diferenciação implícita permite encontrar a derivada de uma equação sem que esta esteja resolvida para $y$.

A função $\text{arco seno}$ de $x$ é a função inversa da função $\text{seno}$ de $x$ e  pode ser representada como:

$$f(x)=\text{arcsen} (x) \qquad \text{ou} \qquad f(x)=\text{sen}^{-1}(x)$$

O que esta função quer dizer é: quais são os arcos que possuem o seno igual a $x$?

Dada uma função $f(x) = \text{sen}^{-1}(x)$, fazemos:

$$\text{sen}(y)=x \tag{1}$$

Iniciamos derivando (implicitamente) termo a termo a equação:

$$\frac{d}{dx}\ \text{sen}(y) = \frac{d}{dx}\ x$$

Obtendo:

$$\cos (y)\ \frac{dy}{dx} = 1 \tag{2}$$

A relação trigonométrica fundamental nos garante que:

$$\text{sen}^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\\ \ \\ \cos^2(\theta) = 1- \text{sen}^2(\theta)\\ \ \\ \cos(\theta) = \sqrt{1-\text{sen}^2(\theta)}$$

Fazendo $y=\theta$, substituímos $\cos(y)$ na relação $(2)$, obtendo:

$$\sqrt{1- \text{sen}^2(y)}\ \frac{dy}{dx} = 1$$

O que nos leva a:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-\text{sen}^2(y)}} \tag{3}$$

Agora, substituímos a relação $(1)$ em $(3)$ para finalmente obter:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Então, se:

$$y = \text{sen}^{-1}(x)\\ \ \\ y^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Links para este artigo:

• https://bit.ly/derivada-arcoseno
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2022/09/derivada-da-funcao-inversa-arco-seno.html
  

Veja mais:

• Derivada da função inversa arco cosseno
  
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• A regra da cadeia
  
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