Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função inversa arco seno, onde:
ddxsen−1(x)=1√1−x2Para derivadas de funções inversas, uma forma de resolver é utilizar a diferenciação implícita juntamente com a regra da cadeia, porque assim não precisamos empregar outras derivadas de funções inversas no processo.
A diferenciação implícita permite encontrar a derivada de uma equação sem que esta esteja resolvida para y.
A função arco seno de x é a função inversa da função seno de x e pode ser representada como:
f(x)=arcsen(x)ouf(x)=sen−1(x)O que esta função quer dizer é: quais são os arcos que possuem o seno igual a x?
Dada uma função f(x)=sen−1(x), fazemos:
sen(y)=xIniciamos derivando (implicitamente) termo a termo a equação:
ddx sen(y)=ddx xObtendo:
cos(y) dydx=1A relação trigonométrica fundamental nos garante que:
sen2(θ)+cos2(θ)=1 cos2(θ)=1−sen2(θ) cos(θ)=√1−sen2(θ)Fazendo y=θ, substituímos cos(y) na relação (2), obtendo:
√1−sen2(y) dydx=1O que nos leva a:
dydx=1√1−sen2(y)Agora, substituímos a relação (1) em (3) para finalmente obter:
dydx=1√1−x2Então, se:
y=sen−1(x) y′=1√1−x2
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